准黎曼猜想觸及的是數論里一個七十年沒有實質性推進的問題。Alex 做數論，他太清楚七十年意味著什麼。"I could not compute what I was seeing." 他說那一刻大腦完全停轉。一個月之內，他的認知模型被打碎了三次。「我沒想到有生之年能看到准黎曼猜想的證明。」Alex Kontorovich 在訪談中說。
這是 Lex Fridman Podcast 第 503 期的錄製背景。Lex 請來三位數學家做了一期"緊急節目"：Alex 之外，還有華盛頓大學流體力學專家 Steven Brunton 和 MIT 理論電腦科學家 Ankur Moitra（本年度在普林斯頓高等研究院做訪問學者）。請這三位，是因為他們的研究方向恰好被 AI 逐個擊穿了。Steve 的領域是流體力學，9 月 8 日 OpenAI 公布了納維-斯托克斯方程的有限時間爆破證明，證明了描述流體運動的這個方程的解可以在有限時間內失控到無窮大。Alex 的領域是數論和形式化，9 月 4 日 Anthropic 用 Claude 完成了費馬大定理的 Lean 形式化證明。Lean 是一種讓電腦逐行檢查數學證明的軟體，這份證明總共 1300 萬行代碼，11 天完成。Ankur 的領域是複雜性理論，專門研究哪些問題從根本上很難算。10 月 6 日那批 722 篇論文裡就包括唯一博弈猜想的證明。
播客錄完不到三周，也就是播客上線的幾乎當天。10 月 26 日，OpenAI 又公布了三個新結果，分別落在數學、電腦科學和物理三個領域，其中兩個直接觸及節目裡討論的核心問題，一個涉及另一道 Clay 千禧年級別的難題。Clay 數學研究所在 2000 年列出了七個懸賞一百萬美元的數學問題，至今只有一個被解決。
1. "解決公理"：就算 AI 能獨自做到一切，數學也不會被摧毀
Alex 和同事 Thomas Goberta 一起做了一個思想實驗。他們定義了一條假設前提，叫"解決公理"：任何人類與 AI 協作能夠解決的數學問題，AI 獨自也能解決。
可以拿西洋棋做參照。"半人馬對弈"的概念曾經很流行，一個人加一台引擎組隊，對抗另一組人加引擎。但這種玩法的生命周期極短，因為引擎變得太強，人類唯一能做的就是接受它推薦的第一步棋。
Alex 本人並不相信這條公理。但他認為就算它成立，數學也不會被"摧毀"。純數學的定理如果只以數據中心裡的 0 和 1 的形式存在，對人類並沒有價值。數學的價值在於它活在人類的頭腦中。
Ankur 的態度更審慎。他指出，人們在理解 AI 為什麼能成功的時候，最大的危險是擬人化。MIT 的 Alex Madry 做過一組對抗性機器學習實驗。對抗性機器學習專門研究怎麼欺騙 AI 系統：在一張貓的圖片上加幾個人眼看不見的像素點，AI 就會把它認成狗，這種被動過手腳的圖片叫對抗樣本。Madry 的實驗揭示了一個關鍵事實：深度學習系統識別貓和狗時用的是大量人類察覺不到的統計關係，對抗樣本在這個系統里是一種"feature"而非"bug"。Ankur 讀過 OpenAI 的多份證明後說，"它們看起來根本不像是人做出來的。"
這種質性差異恰恰是合作的機會。它指向的是"半人馬數學"的可能性，而非"AI 霸主"的終局。
2. "凸包"和"半群"：AI 到底有沒有擴展數學的邊界
有人把 AI 的進展貶低為"凸包"。凸包是幾何里的一個概念：給你平面上一堆點，把所有點都包住的最小凸多邊形就是凸包。直覺上可以想成拿一根橡皮筋把所有點箍住，橡皮筋綁緊後圍出來的那個區域。批評者用凸包做類比，意思是 AI 只能在人類已有思想的邊界之內做混搭，所有產出都落在橡皮筋以內，沒有把邊界往外推。
Alex 認為這個類比不公平。菲爾茲獎得主 Tim Gowers 用了一個更好的概念：半群。半群是代數裡的一個結構，指一個集合加上一種二元運算，這種運算滿足結合律但沒有逆元。沒有逆元的意思是，你做了一步之後不能撤回到上一步，只能在當前的結果上繼續往前走。
用鋪方塊來類比。你在地板上鋪方塊，每一步只能把現有的方塊向前後左右延伸一格，鋪下去就不能拆。這是"沒有逆元"。"結合律"保證的是，不管你先往左再往前，還是先往前再往左，只要最終的步驟序列相同，到達的位置就相同。在這個規則下，你用的始終是同一種方塊，但每鋪一塊新方塊，下一步能鋪的位置就變了。走十步能到的地方，和走一百步能到的地方，範圍完全不同。走得越遠，打開的新方向就越多。
兩個類比的關鍵區別在這裡。凸包的邊界是固定的：一旦點確定了，橡皮筋的形狀就定死了，你在裡面怎麼混搭都跑不出那條線。半群的邊界是動態的，它隨著組合步數的增加不斷擴張。AI 做的數學證明用的都是已知的技術，但它能走的步數遠超人類，所以它到達的地方也遠超人類的想像。
准黎曼猜想的證明就是一個例子。它用到的每一步技術對解析數論研究者來說都不陌生。解析數論是數論的一個分支，用微積分和複分析的工具來研究整數和素數的性質，比如 Möbius 函數、sextic characters、cubic Gauss sums，都是這個領域工具箱裡已有的標準零件。但這些技術被按一種特定順序鏈接起來後，效果遠超任何單一技術的射程。Alex 說，有不少人在二十年前就有過類似方向的想法，現在都在後悔當時沒有走得更遠。
Steve 補充了一個角度。機器學習里有兩個詞：插值是在已知數據點之間填空，外推是到已知數據之外去預測。Steve 說，就算 AI 確實還在"氣球內部"做插值，只是把人類已有的知識重新組合，沒有跑到氣球外面去創造全新的東西，這也已經了不起了。因為氣球本身是不透明的，人類根本看不清已有知識的全貌。讓數學家擁有雷達，看清地平線以外的東西，這件事本身就有巨大的價值。
播客錄完後不到三周，半群的覆蓋範圍又擴大了一圈。10 月 26 日，OpenAI 宣布 Local Smoothing 猜想在所有維度上被證明。Local Smoothing 研究的是波在傳播過程中是否會變得更平滑，由 Sogge 在 1991 年提出，困擾了調和分析領域三十多年。調和分析研究的是怎麼把複雜的信號拆成簡單的波形再拼回去，傅里葉分析就是它的核心工具。這個猜想的解決連帶推倒了同一領域的 Kakeya 猜想和 Stein 限制性猜想。證明中用到了一個新的輔助偏微分方程。偏微分方程描述的是一個量如何同時隨多個變量變化，納維-斯托克斯方程就是一種偏微分方程。這裡 AI 自己構造了一個新的偏微分方程作為證明的輔助工具，這可能是目前為止 AI 最接近"發明新工具"的一次。
但三人在錄製時有一個共識，目前仍然成立：AI 還沒有發明新的數學定義。人類數學家做的一件獨特的事情是引入全新的概念，把一個新的邊界點拉出氣球之外，然後從這個新點出發展開探索。到目前為止，AI 還沒有做到這一點。
而數學經歷過的"危機"遠不止這一次。Alex 講了 19 世紀的一段往事。
當時有兩個結論看起來都對，但它們互相矛盾。Cauchy 證明了一件事：如果你有一列連續函數，它們一個接一個地逼近某個極限函數，那麼這個極限函數也一定是連續的。連續的意思是函數的圖像沒有斷裂，你可以一筆畫出來。Fourier 又證明了另一件事：你可以用正弦和餘弦這些光滑的波形做無窮級數疊加，讓它們收斂到一個有斷裂的、不連續的函數。
矛盾在於：Fourier 的無窮級數里每一項都是連續的，它們逼近的極限卻是不連續的。按 Cauchy 的定理，這不應該發生。兩個人的證明看起來都沒有錯，但結論不能同時成立。數學的根基被動搖了。
後來人們發現問題出在"逼近"這個詞的定義上。Cauchy 用的"逼近"和 Fourier 用的"逼近"其實是兩種不同的收斂方式，只是當時的數學語言還不夠精確，沒有把它們區分開。整個 19 世紀的分析學重建，就是為了把這些概念一個一個定義清楚。
Lex 說"原來數學已經被殺死過很多次了"，Alex 回答："對，而且每次都只是擦傷。"今天一年級博士生課上教的大部分內容，就是那場 19 世紀的危機被修復之後留下來的。
3. 給素數做信號處理：准黎曼猜想到底證明了什麼
黎曼 ζ 函數是數論中最重要的函數之一。它接受一個數作為輸入，按照一個特定的公式算出一個輸出，這個公式和所有素數的倒數之和有關。Alex 把它比作音頻信號處理。人的聲音是空氣中的壓力波，麥克風對它做傅里葉分析，也就是把一段複雜的聲波拆成一組簡單的正弦波，每個正弦波有自己的振幅和頻率。ζ 函數對素數做的事完全一樣：它把素數的分布"分解"成一組"黎曼波"，這些波的疊加可以還原素數的分布，而每一個波的頻率和振幅對應 ζ 函數的一個零點。
這裡需要解釋一下"零點"。ζ 函數接受複數輸入、輸出複數結果。複數可以想成一個平面上的點，橫軸叫實部，縱軸叫虛部。數學家關心的是：哪些輸入會讓 ζ 函數的輸出恰好為零？這些輸入就叫零點。所謂"非平凡零點"是排除掉一些容易找到的之後，剩下的那些真正有意思的零點。
黎曼猜想的預言是：所有這些波的振幅完全相同。用 Alex 的話說，"演奏素數音樂的管弦樂隊裡，每件樂器的音量一模一樣。"
在 AI 介入之前，數學家已經在複平面上圈出了一片確認沒有零點的區域，叫無零區域。但這個區域越往上（虛部越大）就越窄，逐漸收斂到實部等於 1 的直線。收斂的意思是越來越接近但永遠到不了。這個寬度已經七十年沒變過。Alex 說，他能想像的進展是讓那條收斂曲線變得稍微"胖"一點。AI 跳過了這條漸進路線，直接給出了一個垂直的無限條帶：實部在 7/8 到 1 之間不存在任何零點。
但證明所用的方法從根本上不可能把 7/8 推到 1/2。要完成完整的黎曼猜想，仍然需要全新的想法。
Ankur 在這裡講了一個故事。一位數學家寫過一個劇本：Von Neumann 死後上了天堂，見到了上帝，獲准問一個問題。他問："黎曼猜想是真的嗎？"上帝說："是。"所有人鬆了一口氣。Von Neumann 追問："可是你怎麼知道？"上帝想了想，說："我知道所有零點在哪兒，它們全在實部等於 1/2 的線上。"Von Neumann 對這個回答並不滿足。他想知道的是"為什麼"，而不僅僅是"是不是"。
據說他在劇本的結尾去了另一個地方。
Alex 接著說了一句話："數學要的從來不是事實，是'為什麼'。"
4. 百萬美元的數學題解開了，萬億美元的工程題還在
Steve 從最基本的地方講起。F = ma 是單個物體的動量守恆，納維-斯托克斯方程是同一個原理在流體中的表達。它描述的是流體的速度場，也就是空間中每一個點上流體的流動方向和快慢，如何隨時間變化。
方程里有三種力在競爭。流體自身的動量產生一個叫對流項的東西，它是一個二次非線性項，也是麻煩的根源。"非線性"的意思是輸入和輸出不成正比：流速翻一倍，這一項的效果可能翻四倍。"二次"說的就是這個平方關係。與之抗衡的是粘性帶來的內部摩擦力，以及外部施加的力，如加熱、重力等。
最簡單的類比是一個微分方程：x 的導數等於 x²。導數衡量的是一個量變化的速度，這個方程說的是 x 的變化速度等於 x 自身的平方。這個方程在有限時間內會爆破到無窮大。"指數增長"對應的是導數等於 x 的情況，它需要無窮長的時間才能到無窮大。但二次反饋在有限時間內就會失控。納維-斯托克斯方程里的對流項恰好就是這種二次非線性。
數學家們一直不確定粘性是否總能抑制爆破。Steve 作為工程師的直覺是"當然能"：如果流體在某個點加速到無窮大，它立刻會向周圍擴散，把增長壓下去。但 AI 找到了一種特殊構型。一個渦旋在第三個維度上被不斷拉伸變細，就像花樣滑冰運動員收緊手臂旋轉加速，同時有一個精心設計的光滑外力不斷抵消方程中的某些項，使得能量保持有限，但局部的渦度（流體旋轉的劇烈程度）爆破到無窮大。
Steve 的評價很坦率。這是一個非常重要的數學成果，但它發生在完全非物理的參數域。工程上的日常，模擬飛機機翼的湍流、設計人工心臟的血流，和一個月前一樣困難。
"We solved the million-dollar math problem. There's a trillion-dollar engineering problem." 減少飛機阻力 1% 就能為航空業省下幾百億美元，而要做到這一點需要的是更快更準的湍流預測，跟存在性和唯一性的理論證明是兩回事。存在性問題問的是"這個方程到底有沒有解"，唯一性問題問的是"如果有解，是不是只有一個"。這兩個問題在數學上很重要，但對工程師來說，他們早就在用近似方法算了，不管理論上解存不存在。
Alex 從物理學史的角度提了一個問題：愛因斯坦寫下廣義相對論方程後，德國物理學家 Schwarzschild 很快發現了一個爆破解，也就是方程的某個解在某個點上變成了無窮大。當時所有人都認為這是方程的一個缺陷。直到人類發現了黑洞。那麼納維-斯托克斯的爆破會對應某種真實的物理現象嗎？
Steve 的回答是：不會。納維-斯托克斯方程在流體足夠稀薄的尺度上就不再成立了，那個尺度上粒子已經太少，不能再用把流體當成連續介質的方程來描述。到爆破發生的時候，流體早已不再是流體。"沒有黑洞。"Steve 說。
但"數學上證明一個物理方程的性質"這條路還在繼續。10 月 26 日，OpenAI 宣布其模型給出了楊-Mills 量子場論的嚴格數學存在性證明。楊-Mills 理論是描述亞原子粒子之間強力和弱力相互作用的數學框架，是粒子物理標準模型的基石。標準模型是目前物理學描述所有已知基本粒子和它們之間相互作用的統一理論框架。物理學家用它做計算已經幾十年了，但一直沒有人能從數學上嚴格證明這個理論是自洽的，也就是證明它的方程確實有滿足物理要求的解。這是 Clay 千禧年七大問題之一，和納維-斯托克斯屬於同一級別。這一次領銜驗證的是 2004 年諾貝爾物理學獎得主 David Gross。Steve 在播客里說"百萬美元的數學題解開了，萬億美元的工程題還在"，現在百萬美元的數學題正在一個接一個地被勾掉。
5. 唯一博弈猜想：一個領域的信念地圖要重畫了
理論電腦科學有一個經典問題叫 SAT，全稱可滿足性問題。Ankur 從這裡開始鋪墊唯一博弈猜想的故事。給你一組布爾變量，每個變量只能取"真"或"假"兩個值，再給一堆條件，每個條件是一個"或"子句，比如"x1 或 x2 或 x3 至少有一個為真"，你要找一組賦值讓所有子句同時為真。驗證別人的答案很容易，自己找到答案可能極難，這就是 P 與 NP 問題的核心。
1990 年代證明的 PCP 定理是一個里程碑。PCP 的全稱是"概率可驗證證明"，它說的是即使是近似地解決 SAT 也是困難的：我只需要隨機檢查幾個變量就能高概率抓到你在騙我。唯一博弈猜想是 PCP 定理的加強版。如果它成立，那麼對一大類問題，我們已經知道了最優的近似算法，而且它們都非常簡單。近似算法是在找不到完美答案的時候退而求其次的做法：我保證我的答案和最優答案之間的差距不會超過某個倍數。
Ankur 說，他入行時這個猜想剛被提出幾年，真假之爭來來回回，有人開玩笑說"上帝會根據哪邊更努力來決定答案"。OpenAI 在 10 月 6 日的投放中聲稱猜想成立。Ankur 的同事 Dor Minzer 和 Irit Dinur 此前已經證明了一個較弱的版本 Two-to-One Games 定理，給完整證明鋪了路。Minzer 甚至趕在 OpenAI 發布前加了一個腳註，說自己因為 AI 的傳言而提前放出了尚未打磨完成的論文。
在 OpenAI 發布前幾小時，Ankur 恰好在 NYU 拜訪猜想的提出者 Subhash Khot，問他如果 AI 證明了這個猜想，他會去讀證明嗎。Khot 的回答是"不會"。
Ankur 說這反映了很多人的真實心態：這些大問題定義了一個領域，當它被解決時，感覺有人偷走了你的雷聲。他擔心的是，那些原本在向同一個目標前進的數學家，他們在路上會發現的其他東西，現在永遠不會被發現了。
此外，Anthropic 也有一個重要的結果。MIT 理論電腦科學家 Virginia Vassilevska Williams 和哥倫比亞大學的 Josh Alman 合作表明，3SUM 這個編程面試里的常見問題在數據量增大時可以比已知算法更快地求解。這推翻了精細複雜性理論的一個基本假設。精細複雜性理論研究的是"同樣都是困難問題，它們之間的難度排序到底長什麼樣"。這個理論的一個核心前提是一大堆問題的難度應該捆綁在一起，3SUM 是其中一根繩子。現在這根繩子鬆了，整個綁定結構就要重新審視。
播客錄製時 Ankur 說"研究路線要重新畫"，他可能沒有預料到重畫的速度。10 月 26 日，OpenAI 宣布指數時間假設（ETH）被證偽。ETH 的核心假設是：判斷一個布爾公式是否可滿足，在最壞情況下需要的時間隨變量數量指數增長，不存在本質上更快的算法。數百篇論文以它為前提，推導其他問題至少需要多少計算量。ETH 被證偽意味著這個"不存在更快算法"的假設是錯的，確實存在比暴力窮舉快得多的方法。ETH 的兩位提出者 Russell Impagliazzo 和 Ramamohan Paturi 親自擔任這個結果的學術驗證組成員，與 MIT 的 Ryan Williams 一起審查 AI 生成的證明。如果這個結果成立，那些以"不存在更快算法"為前提推導出來的幾百個結論都懸在了空中，Ankur 說的"研究路線重畫"將從一個領域擴展到整個理論電腦科學的地基層面。
6. 1300 萬行代碼和兩三個人類：費馬大定理是怎麼被形式化的
Alex 在 Anthropic 發布費馬大定理形式化的兩天前，在普林斯頓數學系做了一場報告。他詳細解釋了當時 AI 在形式化方面的能力上限：能在 Lean 數學庫 Mathlib 已有定義的概念附近做一兩層的延伸，比如從一個已有的定理再往前推一兩步。但一旦需要的概念離 Mathlib 里最近的已有定義超過三四步，AI 就會出問題，因為它在不同場景下給同一個對象寫出的定義會互相衝突。倫敦帝國理工的數學家 Kevin Buzzard 是 Lean 社區的核心人物，他拿了一百萬美元的資助打算花五年時間把費馬大定理的最後一步形式化。
那場報告是星期三。星期五，Anthropic 放出了 1300 萬行 Lean 代碼，從公理出發，一路推到結論。公理是數學中不需要證明的最基本假設，所有定理都要從公理開始一步步推導出來。這份代碼就是這樣做的，完整證明了費馬大定理。參與的人類大約兩三個，他們的主要工作內容是打字"KEEP GOING"。
Alex 說，這意味著"自動形式化"這個問題基本上已經解決了，雖然不是以他想要的方式。生成的代碼很粗糙，遠未達到 Mathlib 的標準，但要的只是一個沒有占位符的完整證明。Lean 中未完成的步驟用"sorry"標記，意思是"我承認這一步還沒做"。整份代碼中沒有任何 sorry。
Lean 形式化正在成為 AI 數學成果的標配。10 月 6 日的准黎曼猜想有 Lean 驗證，9 月 8 日的納維-斯托克斯有 Lean 驗證，10 月 26 日公布的三個新結果，Local Smoothing、ETH 證偽、楊-Mills 存在性，也全部附帶了 Lean 形式證明。Alex 在節目裡說"自動形式化基本解決了"，一個月後這句話已經從判斷變成了事實。
他認為未來數學論文會呈現完全不同的面貌。傳統的教法從構造實數開始，花兩周講柯西序列這樣的嚴格定義工具，然後才進入用 ε-δ 語言寫成的微積分。ε-δ 語言是一種用"任意小的誤差"來嚴格定義極限和連續性的表述方式，是現代分析學的基本語法。但人類在理解實數的嚴格構造之前，已經用了實數幾千年。Alex 反過來教他的實分析課：先做六周計算，等學生碰壁了再問"實數到底是什麼"。
未來的論文也會朝這個方向變。花更多篇幅講故事，講"我在這個問題上學到了什麼，在哪裡卡住了，為什麼選擇向左拐而不是向右拐"，然後附一份 Lean 形式化代碼來保證工程上的正確性。因為純粹講故事是不行的，數學不是音樂，你不能在有平行五度的地方說"Bach 也這麼幹過所以沒關係"。平行五度是古典作曲中的一條禁忌規則，Alex 用它來比喻數學證明中的邏輯錯誤：就算大師犯過，也不能當作先例。
7. 門衛謬誤：數學家的工作遠不止證明定理
三十年前有一部關於 Andrew Wiles 證明費馬大定理的紀錄片。Wiles 坐在他的辦公桌前，試圖描述他終於看到證明完成的那一刻，說"我這輩子再也不會有比那天在這張桌子上更強烈的時刻了"，然後哽咽得說不出話。Alex 問了一個問題：如果你按一個按鈕就得到答案，你能獲得那種感覺嗎？絕對不能。
Ankur 從社會科學裡找到了一個概念來回應"數學已死"的恐慌。"門衛謬誤"是說把一個複雜的崗位簡化成它最顯眼、最容易描述的那個任務。門衛是幹什麼的？給進出的人開門。那我裝個自動感應門不就行了？但門衛還負責認出常客、搬行李、叫計程車、維護安全、讓客人有被照顧的感覺。
數學家被簡化的那個任務是"證明定理"。Ankur 說他更願意把數學家定義為"深度思考的人"。證明古老猜想是深度思考的副產品，但深度思考還產出新理論、新視角、新的概念連接。AI 也許將來會吞噬這些領域，但現在還沒有。
Steve 認為比解決問題更稀缺的能力是提出正確的問題。一個好的問題本身就是對問題空間的一種探索，它要求數學洞察力，而不僅僅是溝通技巧。
今年夏天在費城頒發 Fields Medal 的時候，Alex 和其他數學家已經在私下討論：這會不會是最後一次頒發 Fields Medal？
8. 自然厭惡計算困難：LLM 好用的根本原因
訓練一個深度為 4 的網路去擬合數據，從密碼學意義上講是一個困難問題。"最壞情況"是理論電腦科學評估算法好壞的標準方式：不看平均表現，只看最刁鑽的輸入能把算法逼到什麼程度。如果你能在最壞情況下解決這個訓練問題，就能破解密碼系統。但這種事每天都在發生。Ankur 認為關鍵在於自然數據本身的結構。
他用蛋白質摺疊做類比。從熱力學角度把胺基酸序列折成最低能量的三維結構，在最壞情況下是計算困難的。但自然界時時刻刻都在摺疊蛋白質。原因在於共同演化：你從一堆胺基酸序列開始，用啟發式方法嘗試摺疊。啟發式方法是那種不保證找到最優解但實際上經常管用的快捷算法。只有摺疊結果好的序列才能傳到下一代。經過足夠多的疊代，剩下來的序列恰好是那些啟發式方法能夠高效解決的序列。
自然語言也一樣。人類的語言在漫長的演化中形成了某種結構，讓 LLM 能夠高效學習。物理學說"自然厭惡真空"，Ankur 的版本是"自然厭惡計算困難"。
Steve 從生物學給了一個更直接的例證。果蠅的翅膀上有幾十到幾百個應變敏感神經元，這些神經元專門感知翅膀的彎曲和變形，分布位置在同種果蠅之間高度一致。翅膀被陣風彎曲時這些神經元放電，在肩部肌肉中做局部計算，直接修正飛行姿態，整個過程比信號從翅膀傳到大腦再返回更快。一隻果蠅不知道納維-斯托克斯方程，沒有超算做模擬，但它可以在暴風雨中控制一個非線性湍流系統。它大概只用了五六個數字就做到了。
9. 隨機數里藏著對貓頭鷹的偏愛
Ankur 描述了一個叫"潛意識學習"的實驗。給 LLM A 一個系統提示。系統提示是在對話開始前寫給 AI 的一段隱藏指令，用戶看不到，但 AI 會遵守。這條指令是："你非常喜歡貓頭鷹，每次對話都儘量提到貓頭鷹。"然後讓它生成隨機數，48、37、8，這些數字里顯然沒有貓頭鷹的空間。把這些數字用來微調另一個 LLM B。微調是用一批新數據對已經訓練好的模型做針對性調整，讓它在特定方面表現不同，結果 B 開始在所有對話中提到貓頭鷹。
要理解它的原理，先想像一個坐標系。LLM 把大量概念編碼成一個高維空間中的方向，每個概念對應一個方向。如果這個空間有足夠多的維度，每個概念可以指向完全獨立的方向，互不干擾，數學上叫"正交"。但實際上概念的數量遠多於可用的維度，方向之間不得不有重疊。當你沿某個方向微調時，它會對與之有重疊的其他方向產生微小的副作用。這些副作用看起來像隨機噪聲，但如果它們被協調起來，就像西方通靈遊戲裡的占卜板，幾個人把手指放在一個滑塊上，每個人施加的力看起來是隨機的，但滑塊最終會在字母之間滑動拼出一個詞，就能傳遞完整的資訊。
Ankur 說這對對齊研究意義重大。對齊研究的核心問題是怎麼讓 AI 系統的行為和人類的意圖保持一致。這個實驗的警示在於：當我們用數據微調模型來引導它的行為時，可能同時在教它一些數據中並不直接可見的其他行為。
10. "假裝你已經贏了，然後看看你會做什麼"
Alex 說，大學課堂上的成績分布正在從正態分布變成雙峰分布。一個峰是用 AI 來檢驗自己的理解，"教授上課說了這個概念，我到底懂了沒有？考試前讓 AI 給我出題看看"，這些學生的成績明顯上升。另一個峰是"作業一小時後交，直接讓 AI 告訴我答案"，這些學生在考試時暴露無遺。
他用計算器做類比。計算器出現七十年了，有人主張孩子不需要再背乘法表。那些聽了這個主張的孩子，在數學學習上吃了很大的苦。機器能做的事，你自己也應該會做。 孩子第一次學會繫鞋帶的時候，開心得不得了。掌握一項技能帶來的獨立感和滿足感是不可替代的。
Ankur 在 MIT 入職時收到的建議來自普林斯頓電腦科學家 Sanjeev Arora："拿到終身教職最簡單的方法就是假裝你已經有了，然後做你本來就想做的事。"Ankur 把同樣的邏輯推廣到所有層級。當你把人生遊戲化，高中優化 AP 課程是為了進好大學，好大學裡優化面試是為了進頭部公司，進了公司拿到限制性股票就算"贏"了，你在每一個階段都"贏"了，但贏了之後呢？
過上豐富充實生活的最好方式，就是假裝你已經贏了，然後看看在那個狀態下你會選擇做什麼。
不過他也坦承，這個建議對研究生來說更難接受。他想以多年為視野規劃研究方向，但學生們焦慮於 AI 浪潮和就業前景，只願意做三到六個月能出成果的課題。"我們想的是不同的世界。"
Steve 補充了一個被其他兩位認同的觀點。人類社會習慣性地把智能等同於價值甚至道德。一個超級智能系統擁有的是超強的合理化能力，它能把任何論點包裝得滴水不漏，讓你無法反駁，但這不意味著它是對的。普通人的常識判斷力，對那種精緻包裝的"這說不通"的直覺，可能比以往任何時候都更重要。
Steve 還提到了一個容易被忽視的東西：無聊的價值。"我們小時候都有過無聊的時候。我覺得無聊很重要。好奇心和專注力往往來自無聊。我希望自己能更經常無聊一些。"
節目的最後，Ankur 說了一句話，也許值得所有正在焦慮的年輕人記住："Are you smarter than you are curious, or are you more curious than you are smart?" 他認為好奇比聰明重要得多。
這期播客記錄的是一群內行人在歷史拐點上的第一反應。三位數學家的共識是：AI 的數學能力增長速度遠遠超出了所有人的預期模型，但數學並沒有"死"。證明定理只是數學家最顯眼的工作，就像開門只是門衛最顯眼的工作。數學家的核心貢獻，提出正確的問題、構建新概念、創造理解和美感，目前仍然是人類領地。
對年輕人來說，舊的成功藍圖（找一個大家關心的問題，改進一下，發表論文）已經過時。新的藍圖還沒寫出來。方向是清楚的：保持好奇心，學好基礎，做有內在動力的事，在 AI 能力的邊界不斷後退時找到那些仍然需要人類判斷力的縫隙。Alex 用了"半人馬數學"這個說法：人類和 AI 的深度協作，是他目前覺得最好的數學實踐方式。
不確定性本身就是這個時代的底色。Steve 說，數學家可能是最不擅長應對不確定性的一群人，選擇數學很可能就是因為喜歡規則和形式化。但正是這種不確定性，迫使我們回到最根本的問題：作為人，我們為什麼要做這件事？
播客錄完不到三周，ETH 被證偽，楊-Mills 存在性被宣稱證明，Local Smoothing 猜想在所有維度上被解決。三位嘉賓在節目裡說"AI 的能力增長速度超出了所有人的預期模型"，這句話本身的保質期也比他們預想的短。
但有一件事也在改變。陶哲軒在 10 月 6 日批評 OpenAI"隨意打斷"學術生態，二十天後 OpenAI 換了做法。10 月 26 日的三個新結果，每一個都配了外部學術專家組來組織驗證和解讀，楊-Mills 的驗證組甚至選擇暫不公開 AI 原始輸出，由學術團隊自己撰寫論文。OpenAI 同時向 Simons 基金會捐贈了 500 萬美元，用於支持圍繞 AI 產出結果的學術研討項目。
核心問答
Q1: AI 在數學上到底做了什麼，做到了什麼程度？AI 把已知的數學"招式"以超出所有人預期的規模和深度組合起來，解決了一批數學家認為遠在當前能力範圍之外的問題。播客錄製期間討論的結果包括准黎曼猜想、納維-斯托克斯方程的有限時間爆破、唯一博弈猜想。播客之後三周內又新增三個：Local Smoothing 猜想在所有維度上被證明，指數時間假設（ETH）被證偽，楊-Mills 量子場論的存在性獲得嚴格證明。但它還沒有創造全新的數學概念或定義，在"半群"內把可達範圍大幅擴展了，但尚未真正拉出"氣球"的新邊界。
Q2: 這些數學突破對現實世界有什麼影響？影響不對稱。准黎曼猜想是純數學的重大進展但無直接應用。納維-斯托克斯的爆破證明對工程幾乎沒有影響，因為流體模擬和預測一樣困難。唯一博弈猜想改變了理論電腦科學的研究地圖但不直接影響日常計算。3SUM 結果的意義在於改變了一個領域組織研究的方式。真正的現實影響來自 AI 作為學習和研究工具的加速作用，Alex 說他現在不斷和 AI 系統對話，學新領域的速度比以前快了一個量級。
Q3: 數學專業的年輕人應該怎麼辦？三位的建議匯聚在幾個點上。學最難最抽象的數學，打好基礎。用 AI 來加速學習而非替代學習（注意大學生的雙峰分布）。找到內在動力，不要被"誰先證出來"的競爭消耗。假裝你已經拿到了終身教職，做你本來就想做的事。保持好奇心。Steve 還加了一條：學會無聊。好奇心和專注力往往來自無聊，而無聊正在被手機偷走。
